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欧拉定理定义公式

来源 :华课网校 2024-06-23 09:39:06

欧拉定理,又称费马-欧拉定理,是数论中一个重要的定理,它描述了余数的运算规律。欧拉定理的定义公式如下:

对于任意正整数a和m,如果它们互质(即最大公约数为1),那么a的欧拉函数φ(m)与m的余数幂运算a^k mod m的结果相等,即:

a^φ(m) ≡ 1 (mod m)

其中,φ(m)表示小于m且与m互质的正整数的个数,也就是欧拉函数。mod表示取余数运算符。

这个定理的意义在于,它提供了一种快速计算余数幂的方法。例如,如果需要计算2^1000 mod 17的值,根据欧拉定理,可以先计算出φ(17)=16,然后将1000除以16得到62余8,再将2^8 mod 17的结果乘以自身,共计算62次,最终得到2^1000 mod 17的结果。

欧拉定理在密码学中也有广泛的应用,例如RSA公钥加密算法就是基于欧拉定理的。因此,欧拉定理的研究和应用具有重要的理论和实际意义。

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